2021 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
A 题 “FAST”主动反射面的形状调节
中国天眼——500 米口径球面射电望远镜（Five-hundred-meter Aperture Spherical radio
Telescope，简称 FAST），是我国具有自主知识产权的目前世界上单口径最大、灵敏度最高的
射电望远镜。它的落成启用，对我国在科学前沿实现重大原创突破、加快创新驱动发展具有重
要意义。
FAST 由主动反射面、信号接收系统（馈源舱）以及相关的控制、测量和支承系统组成（如
图 1 所示），其中主动反射面系统是由主索网、反射面板、下拉索、促动器及支承结构等主要
部件构成的一个可调节球面。主索网由柔性主索按照短程线三角网格方式构成，用于支承反射
面板（含背架结构），每个三角网格上安装一块反射面板，整个索网固定在周边支承结构上。
每个主索节点连接一根下拉索，下拉索下端与固定在地表的促动器连接，实现对主索网的形态
控制。反射面板间有一定缝隙，能够确保反射面板在变位时不会被挤压、拉扯而变形。索网整
体结构、反射面板及其连接示意图见图 2 和图 3。
图 1 FAST 三维示意图
图 2 整体索网结构
(a) (b)
图 3 反射面板、主索网结构及其连接示意图
主动反射面可分为两个状态：基准态和工作态。基准态时反射面为半径约 300 米、口径为
500 米的球面（基准球面）；工作态时反射面的形状被调节为一个 300 米口径的近似旋转抛物
面（工作抛物面）。图 4 是 FAST 在观测时的剖面示意图，C 点是基准球面的球心，馈源舱接收
平面的中心只能在与基准球面同心的一个球面（焦面）上移动，两同心球面的半径差为 F=0.466R
（其中 R 为基准球面半径，称 F/R 为焦径比）。馈源舱接收信号的有效区域为直径 1 米的中心
圆盘。当 FAST 观测某个方向的天体目标 S 时，馈源舱接收平面的中心被移动到直线 SC 与焦面
的交点 P 处，调节基准球面上的部分反射面板形成以直线 SC 为对称轴、以 P 为焦点的近似旋转
抛物面，从而将来自目标天体的平行电磁波反射汇聚到馈源舱的有效区域。
图 4 FAST 剖面示意图
将反射面调节为工作抛物面是主动反射面技术的关键，该过程通过下拉索与促动器配合来
完成。下拉索长度固定。促动器沿基准球面径向安装，其底端固定在地面，顶端可沿基准球面
径向伸缩来完成下拉索的调节，从而调节反射面板的位置，最终形成工作抛物面。
本赛题要解决的问题是：在反射面板调节约束下，确定一个理想抛物面，然后通过调节促
动器的径向伸缩量，将反射面调节为工作抛物面，使得该工作抛物面尽量贴近理想抛物面，以
获得天体电磁波经反射面反射后的最佳接收效果。
请你们团队根据附录中的要求及相关参数建立模型解决以下问题：
1、当待观测天体𝑆位于基准球面正上方，即𝛼 = 0°, 𝛽 = 90°时，结合考虑反射面板调节因
素，确定理想抛物面。
2、当待观测天体𝑆位于𝛼 = 36.795°, 𝛽 = 78.169°时，确定理想抛物面。建立反射面板调节
模型，调节相关促动器的伸缩量，使反射面尽量贴近该理想抛物面。将理想抛物面的顶点坐标，
以及调节后反射面 300 米口径内的主索节点编号、位置坐标、各促动器的伸缩量等结果按照规
定的格式（见附件 4）保存在“result.xlsx”文件中。
3、基于第 2 问的反射面调节方案，计算调节后馈源舱的接收比，即馈源舱有效区域接收到
的反射信号与 300 米口径内反射面的反射信号之比，并与基准反射球面的接收比作比较。
附录：要求及相关参数
1、主动反射面共有主索节点 2226 个，节点间连接主索 6525 根，不考虑周边支承结构连接
的部分反射面板，共有反射面板 4300 块。基准球面的球心在坐标原点，附件 1 给出了所有主索
节点的坐标和编号，附件 2 给出了促动器下端点（地锚点）坐标、基准态时上端点（顶端）的
坐标，以及促动器对应的主索节点编号，附件 3 给出了 4300 块反射面板对应的主索节点编号。
2、基准态下，所有主索节点均位于基准球面上。
3、每一块反射面板均为基准球面的一部分。反射面板上开有许多直径小于 5 毫米的小圆孔，
用于透漏雨水。由于小孔的直径小于所观察的天体电磁波的波长，不影响对天体电磁波的反射，
所以可以认为面板是无孔的。
4、电磁波信号及反射信号均视为直线传播。
5、主索节点调节后，相邻节点之间的距离可能会发生微小变化，变化幅度不超过 0.07%。
6、将主索节点坐标作为对应的反射面板顶点坐标。
7、通过促动器顶端的伸缩，可控制主索节点的移动变位，但连接主索节点与促动器顶端
的下拉索的长度保持不变。促动器伸缩沿基准球面径向趋向球心方向为正向。假设基准状态下，
促动器顶端径向伸缩量为 0，其径向伸缩范围为-0.6～+0.6 米。
8、天体 S 的方位可用方位角𝛼和仰角𝛽来表示（见图 5）。
图 5 天体 S 方位角与仰角示意图
基于迭代曲面拟合与离散化的主动反射面形状调节方案设计
摘要
本文对天眼——“FAST”射电望远镜的主动反射面形状调节机制进行建模分析，对
其工作原理与过程进行深入探究。首先根据所给数据，计算出基准球面的平均半径约为
300.400m，接着在目标天体位于球心正上方的状态下，求解出世界坐标系下的最优理想
抛物面方程。根据天体位置的变化，建立相应的天体坐标系，通过旋转矩阵进行两坐标
系之间的相互变换。
为尽量贴合理想抛物面，首先尝试主索点位于目标抛物面之上的方法，再进行拟合
方案的修改优化，直至达到理想程度。本题主要采用旋转矩阵实现坐标转换，利用迭代
算法进行拟合方案优化，并结合解析几何对问题进行求解。
针对问题一：将三维立体问题简化为二维平面图形，即将对理想抛物面方程的求解
转化为对理想抛物线方程的求解。通过解析几何分析，建立可能的抛物线方程。利用非
线性规划，以促动器伸缩范围、照明区域口径大小等现实情况为约束条件，寻找可以使
促动器伸缩长度尽可能小的焦距值，从而确定最终的理想抛物线方程。将该理想抛物线
绕着 z 轴旋转，得到理想抛物面方程约为 z = 0.0017816(x
2
+ y
2
) − 300.74。
针对问题二：当目标天体位置移动，以天体与球心所在直线为 z 轴，建立天体坐标
系，从而使目标天体在该坐标系下位于球心正上方，将问题二与问题一建立联系，并通
过旋转矩阵对坐标点进行变换与反变换处理。
首先引入拟合偏差均方根 (RMS) 的概念，选取一系列标记点，将球面离散化处理，
来描述拟合效果。方案一选择先让 300 米口径范围内的所有主索节点移至理想抛物面
上，发现 RMS 值不太理想。方案二要求计算出 300 米口径内主索节点周围标记点偏离
距离均值的均方根值，并将每一个主索节点沿着径向调整，利用迭代算法，直至偏差均
方根值达到理想状态。最终 300 米口径中所包含的主索节点有 692 个，理想抛物面的顶
点精确到小数点后三位为 (49.375 , 36.931, 294.347)
针对问题三：对电磁波的传播路线进行数学分析。将在 300m 口径内的所有球面形
反射面板进行离散化处理，根据天文观测的精度要求，每个散点间距不大于 1.5 米，于
是在所有反射面板上选取出 45 个标记点，对所有的标记点进行反射电磁波的路径计算，
并找出反射电磁波在馈源舱平面的击中位置。对于每一块反射板统计出落在接收有效面
积内光点所占比例，并以该板在天体坐标系下水平面投影面积占比为权重，最终将所有
300 米口径内反射板对应的带权值相加，作为该状态下的接收率。最终工作抛物面状态
下接收率约为 61.323%，基准球面下接收率约为 5.724%。
关键字： 迭代算法 曲面拟合 离散化 旋转矩阵 非线性规划
1
一、 问题重述
1 . 1 问题背景
中国天眼——500 米口径球面射电望远镜，简称 FAST，目前是世界上口径最大的
射电望远镜，其灵敏度、观测范围都使其他望远镜设备望尘莫及，预计将在未来二三十
年内保持世界顶尖设计水平。[1][2] 具有中国独立自主知识产权的中国天眼在体现了我
国突飞猛进的技术创新能力的同时，也将对众多基础科学领域提供新的机遇与可能性，
并在西部发展、国防建设和国家安全等方面发挥不可替代的作用。[3] 对 FAST 结构的
分析和数学模型的创建，将有助于国家大型工程的科普进程，并为管理者对 FAST 实施
进一步应用与维护提供便利。[4]
1 . 2 问题的提出
作为世界上第一个采用变位工作方式索网结构的射电望远镜，FAST 由主动反射面、
信号接收系统 (馈源舱)，以及相关的控制、测量和支撑系统组成。其中主动反射面系统
由主索网、反射面板、下拉索、促动器和支撑结构组成。
主动反射面分为基准态与工作态。基准态为以一个半径约 300 米，口径 500 米的球
面，工作态时反射面则会被调节成一个口径 300 米的近似旋转抛物面。馈源舱只能在焦
面上移动。当 FAST 观测天体目标 S 时，馈源舱移至球心 C 和 S 的连线与焦面的交点
P 处。调节反射板排布，使来自目标天体的平行电磁波反射汇聚到馈源舱的有效区域。
工作剖面如图 1所示。
而技术的关键在于如何在满足反射面板调节的约束下，确定理想抛物面，并且通过
下拉索与促动器的配合来将反射面调节为工作抛物面，使该抛物面贴近理想抛物面，从
而可以获得最佳接收效果。
在已知所有主索节点和促动器的坐标、编号及对应关系，以及他们与 4300 块反射
板的对应方式后，需解决以下问题：
1. 确立当目标天体位于基准球面正上方时的理想抛物面。
2. 当目标天体位于 α=36.795°，β=78.169° 时确立理想抛物面，并建立反射面板调节模
型，使其尽量贴近理想抛物面。最终标注出顶点坐标、300 米口径内主索节点编号、
位置坐标和各促动器的伸缩量。
3. 基于第二问的答案，计算调节后馈源舱的接收比，并与基准反射球面的接收比进行
比较。
2
图 1 FAST 工作剖面图
二、 模型假设
1. 假设：望远镜外部环境理想，对面板与电磁波反射影响忽略；
解释：忽略热胀冷缩、风力雨水等对索网结构以及电磁波传播路径的影响。
2. 假设：反射面板在调整过程中不会发生形变；
解释：为便于计算模拟反射面板与理想抛物面的拟合贴近过程，认定反射面板在整
个过程中一直维持半径为 R 的球面状态。
3. 假设：不考虑主索、下拉索与主索节点的重力，以及索网内力影响；
解释：由于结构自重与索网内力的存在，实际促动器在伸缩过程中的实际移动距离
会比理想状态下稍小一点，为方便拟合与贴近，我们忽略扰动，认为其可以直接达
到理想状态。
4. 假设：馈源舱不会阻挡电磁波传播路径；
解释：300 米口径内的所有反射板都可以均匀接收到电磁波。
5. 假设：下拉索方向一直保持不变；
解释：当下拉索牵动主索节点进行伸缩时，只会沿着下拉索的初始方向进行，不考
虑由于伸缩调节带来的方向上的轻微改动。
6. 假设：反射面板间有一定的缝隙存在，但缝隙非常小；
解释：反射面板间缝隙的存在能确保反射面板在变位时不会被羁押、拉扯而变形，但
在计算反射信号比时，我们认为各个主索节点间反射面板成填充状态，不会有信号
的遗漏。
3
三、 符号说明
表 1 论文符号说明
符号 意义 单位
A 抛物线顶点 /
R 基准球面半径 m
p
2
抛物线焦距 (即 A 与 P 间的距离) m
r
抛物线上任一点与圆心
C
间距离
m
t 抛物线上任一点的横坐标 /
R
x
, R
y
, R
z
分别绕 x, y, z 轴旋转所对应的旋转矩阵 /
R 从世界坐标系转换至天体坐标系的旋转矩阵 /
num 300 米口径内主索节点个数 个
X
0
, Y
0
, Z
0
天体坐标系下主索基准态时节点坐标 /
X, Y, Z 天体坐标系下主索节点坐标 /
x
below
, y
below
, z
below
天体坐标系下地锚点坐标 /
x
above
, y
above
, z
above
天体坐标系下基准态时顶端坐标 /
RMS
i
第 i 次移动后拟合偏差均方根 m
s
ij
第 i 次移动后标号 j 的主索节点附近标记点偏离距离的均值 m
四、 问题的分析
4 . 1 问题一的分析
当观测天体 S 位于基准球面正上方，即 α=0°，β=90° 时，该理想抛物面关于直线
CS 对称。当目标天体向望远镜发射出一组竖直向下的平行电磁波信号，信号会经过理
想抛物面的反射汇聚到馈源舱 P 处。做截面图，从二维的图像上观察，则可知理想抛物
面是由一个以 P 为焦点，最低点 A 为顶点的抛物线，以 CS 为轴旋转所得。
由于基准状态下，促动器顶端径向伸缩量为 0，其径向伸缩范围为 −0.6∼0.6 米，所
以照明区域内的理想抛物面应该在促动器可以伸缩的范围之内。为了减少能量损耗并方
4
便对反射面板进行调节，我们应尽量缩短促动器的伸缩调节距离，所以我们找出所有可
能性情况中所需调节的伸缩量的最大值尽可能小的情况，即为最佳的理想抛物面。
4 . 2 问题二的分析
由于目标天体的方位发生变化，首先建立世界坐标系与天体坐标系，在天体坐标系
中，CS 仍沿着 z 轴方向，通过旋转矩阵对世界坐标系旋转变换得到天体坐标系，则变
换后的坐标系中理想曲面方程与问题一结果相同。
同理将所有节点坐标通过旋转矩阵变换到天体坐标系中，可以得到天体坐标系下的
节点分布，便于量化表达口径约束与伸缩长度限制。为将球形面板与理想抛物面尽可能
贴近，首先考虑所有主索点位于理想抛物面上的情况，但最终计算结果并不理想。方案
二在每一块球形面板上确定一系列标记点，计算标记点与抛物面间距离的均值，并以该
均值为距离大小，沿促动器伸缩方向移动主索点，直至偏差均方根值达到理想范围，确
立最优拟合方式。最终通过反变换，将天体坐标系下各点还原到世界坐标系中。
4 . 3 问题三的分析
在完成反射板的拟合过程后，由于每一个板的位置与朝向各不相同，想要精确计算
出球面子块的反射结果非常困难。为解决这一问题，可以将口径内的各个反射面板进行
离散化处理，选取较为均匀分布的标记点，并对所有标记点进行反射路径与最终落点计
算。由于我们对连续性问题进行了离散化处理，每个反射板的倾斜程度会对其贡献率产
生影响，所以将每块板的投影面积占比为权重，最终将每块板的有效反射率带上权值相
加，作为接收率。
五、 模型的建立与求解
5 . 1 建模准备工作
题中将基准球面理想化为一个半径为 300m，口径为 500m 的球体，但根据实际数
据可观测得知，该球体半径并不是为确切的 300m，而由于促动器的调节范围为 −0.6 ∼
0.6m 这样一个很小的范围内，所以零点几的偏差也会带来很大的影响，从而导致建模
结果不理想。所以首先根据各个主索节点的初始坐标，计算出实际的基准球面半径，再
开始建模工作。
R
i
=
x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
(1)
R = R
i
=
n
i=1
R
i
n
(2)
其中 x
i
, y
i
, z
i
为各个主索节点的坐标，R
i
表示主索节点初始时与原点的距离，n 表
示主索节点个数，R 为最终基准球面半径。最终得到半径 R 约为 300.4m。
5
5 . 2 问题一
5 . 2 . 1 二维平面坐标系的确立
如图 2所示，做截面图，从二维几何角度分析，以 C 为原点，CS 方向为 y 轴正方
向建立平面直角坐标系。基准球面所对应圆的方程式为:
x
2
+ y
2
= R
2
(y < 0, −250≤x≤250) (3)
由于促动器的伸缩范围为 −0.6∼0.6 米, 则促动器最大伸缩的上下边界为:
x
2
+ y
2
= (R + 0.6)
2
(y < 0, −250≤x≤250) (4)
x
2
+ y
2
= (R − 0.6)
2
(y < 0, −250≤x≤250) (5)
设顶点 A 与焦点 P 之间的距离 (焦距) 为
p
2
，则 A 点坐标为 (0,−
p
2
−0.534R)，P 点
坐标为 (0,−0.534R)。以 A 为顶点，P 为焦点的抛物线方程为：
y = −
p
2
− 0.534R +
x
2
2p
(6)
图 2 二维平面坐标系
6
5 . 2 . 2 顶点范围确立与最优方案选取
考虑到促动器的伸缩范围以及照明区域的口径大小限制，理想抛物线服从以下约束
条件：
s.t.
x
2
+ y
2
≥(R − 0.6)
2
x
2
+ y
2
≤(R + 0.6)
2
−150≤x≤150
y < 0
(7)
顶点 A 的取值范围为 (−
p
2
− R,
p
2
− R)，计算理想抛物线上的点与圆心 C 的距离：
r =
t
2
+ (−
p
2
− 0.534R +
t
2p
)
2
(8)
其中 r 表示抛物线上任意一点距离圆心 C 的距离，t 表示该点的横坐标，p 为两倍
的焦距。若需满足(7)的约束条件，则要求 r 值恒大于 R − 0.6 小于 R + 0.6。
在选择最终的最优理想抛物线时，我们决定尽可能缩短促动器所需调节的距离，从
而减小调节难度，在节省能量损耗的同时方便操作，减少反射板调节时间。于是最优抛
物线的目标函数为：
min{max|r − 300|} (9)
5 . 2 . 3 问题一最终解答
将式 s(t) = |r − 300| 对 t 进行求导运算，找出三个极值点，则 max|r − 300| 只可能
在三个极值点与两个端点处取得。将五种情况下 t 的取值依次代入到(16)中，则最优状
态下促动器的伸缩量 s = min{f (p)}(已保留 5 位有效数字):
f(p) = max
|160.41
(0.0031169p + 1)
2
− 300.40|
|17.912
p + 2.5309 · 10
−28
− 300.40|
|11250
0.00017778 +
(4.4444 · 10
−5
p
2
+ 0.014259p − 1)
2
p
2
− 300.40|
(10)
其中由于对称性，所以两个端点与两个非顶点极值点所对应的解析式分别相同，
最终得到三条关于 p 的曲线。要求满足(9)，则最大距离 f(p) 不得超过 0.6，可能情况
为图 3a中红色方框内部区域。
三条曲线分别有三个交点，如图 3b所示，选择 min{max|r − 300|} 对应的点，即蓝
色实线与红色点划线的交点为最佳 p 取值点。最终取值为：p = 280.6446794774304
由该抛物线旋转所得理想抛物曲面如图 4所示，其表达式为 (保留 5 位有效数字)：
z = 0.0017816(x
2
+ y
2
) − 300.74 (11)
7
(a) s
max
(p)
(b) 交点处放大图
图 3 促动器最大移动距离与 p 关系图
8
图 4 理想曲面
5 . 3 问题二
5 . 3 . 1 旋转矩阵的确立
问题二中目标天体的位置处于
α
=36.795°
，
β
=78.169°
的位置，以图 5a所示方向建
立世界坐标系。为了将 S 位置转换到坐标系的正上方以方便计算分析，将世界坐标系先
后绕 z 轴旋转 α，绕 y 轴旋转 90° − β, 如图 5b,图 5c所示，得到天体坐标系。
(a) 世界坐标系与 S 方位角
(b) 绕 z 轴旋转结果
(c) 绕 y 轴旋转结果 (天
体坐标系)
图 5 坐标系转换过程
x, y, z 轴分别对应旋转矩阵为：
R
x
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
R
y
=
cos(90° − β) 0 sin(90° − β)
0 1 0
−sin(90° − β) 0 cos(90° − β)
9
R
z
=
cosα −sinα 0
sinα cosα 0
0 0 1
最终将世界坐标系转换为天体坐标系的矩阵为：
R =R
x
R
y
R
z
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
cos(90° − β) 0 sin(90° − β)
0 1 0
−sin(90° − β) 0 cos(90° − β)
cosα −sinα 0
sinα cosα 0
0 0 1
=
sinβcosα −sinβsinα cosβ
sinα cosα 0
−cosβcosα cosβsinα sinβ
理想抛物面在天体坐标系中的表达式与问题一结果相同。
5 . 3 . 2 理想抛物面的确定与顶点坐标计算
设世界坐标系中，理想抛物面的顶点为 A
T
= (x, y, z)，而在天体坐标系中理想抛物
面与问题一中所求相同，顶点为 A
′T
= (0, 0, −300.74)，则有：
A
′
= RA
0
0
−300.74
=
sinβcosα −sinβsinα cosβ
sinα cosα 0
−cosβcosα cosβsinα sinβ
x
y
z
(12)
由此可得世界坐标系下，理想抛物面的顶点坐标为：
A = R
−1
A
′
最终顶点计算结果为：(−49.3751821, −36.93063567, −294.34729243)
5 . 3 . 3 拟合程度量化分析
由于每一块反射面板均为基准球面的一部分，所以最终的工作抛物面是一个近似旋
转抛物面，并不能与理想抛物面完全重合。为了对拟合程度进行量化分析，我们引入拟
合偏差均方根 [5] 的概念。
在每一块球面上选取 45 个标记点，对每一块曲面进行离散化分析，如图 6a[5] 所
示。以一个主索点为中心点，选取周围六块反射板上与之接近的标记点（即图 6b[5] 中
六边形虚线框中的标记点）为研究对象，根据式 (16) 计算出虚线框内所有点与理想抛物
10
面的距离，并求出均值 s。计算所有主索节点对应的 s 的均方根 R M S。（若点位于理想
抛物面以上，距离为正，否则为负）其中 num 表示 300 口径内主索节点个数。
RMS =
num
i=1
s
i
2
num
(13)
在工程中为满足天文观测的需要，要求反射面与工作抛物面的拟合偏差均方根在理
想情况（不考虑加工、制作及主索网调节误差）下小于 2.5mm。[6]
(a)
(b)
图 6 反射板标记点选取与计算
5 . 3 . 4 拟合方案一
首先根据题中所提供的的附件 1 与附件 2 中世界坐标系下各个主索节点、下拉索
上下端点的坐标通过旋转变换矩阵，变换为天体坐标系下的坐标点。为使反射板与理想
抛物面尽量贴合，我们首先将主索节点调整至理想抛物面上，贴近方向即为下拉索的方
向。
设天体坐标系下，基准态时主索节点坐标为 (X
0
, Y
0
, Z
0
) 调节后的主索节点坐标为
(X, Y, Z)，调节的方向向量为 (x
above
− x
below
, y
above
− y
below
, z
above
− z
below
)，可知该主索
节点运动轨迹为：
X − x
below
x
above
− x
below
=
Y − y
below
y
above
− y
below
=
Z − z
below
z
above
− z
below
(14)
由于促动器伸缩限制以及照明区域口径大小的要求，主索节点坐标应服从以下约
束：
s.t.
(X − X
0
)
2
+ (Y − Y
0
)
2
+ (Z − Z
0
)
2
≤0.6
X − x
below
x
above
− x
below
=
Y − y
below
y
above
− y
below
=
Z − z
below
z
above
− z
below
−150≤
X
2
+ Y
2
≤150
Z < 0
(15)
11
促动器伸缩长度为：
s =
(X − x
above
)
2
+ (Y − y
above
)
2
+ (Z − z
above
)
2
(16)
在确立理想抛物面后，为尽可能将反射面板与抛物面贴近，首先尝试将所有主索节
点移动至理想抛物面上的状态。将直线方程式 (14) 与理想抛物面曲面方程式 (11) 联立，
得到主索节点运动到抛物面上的各个点。
计算此时的拟合偏差均方根约为 0.0242m，与工程中的理想范围有很大差距，需要
寻找更加优化的方案。
5 . 3 . 5 拟合方案二
当主索节点都移动至理想抛物面上，如图 7a[6] 所示，由于每一块反射面板都是一
个半径为 R 的球面，导致除主索节点以外的其他部分都处于理想抛物面下方，从而未
能实现最优化的贴近方式，需要寻找优化方案。
理想中最佳贴近状态下，主索节点会稍微偏离理想抛物面，使得球面反射板较为均
匀地分布在理想抛物面的上下两侧，从而减小反射面与抛物面的偏差均方值，如图 7b[6]
所示。
(a)
(b)
图 7 反射板与抛物面的拟合
反射板初始状态为一个理想球面，计算初始状态下每一个主索节点对应的 s
1
，将主
索节点沿径向移动 s
1
米的距离，计算此时的拟合偏差均方根 RM S
1
。
更新此时主索节点坐标，通过迭代，对上述步骤进行循环操作，第 i 次操作中将主
索节点向球心方向移动 s
i
距离，并计算此时拟合偏差值的均方根 RM S
i
。
RMS
i
=
num
j=1
s
ij
2
num
(17)
其中 RMS
i
为第 i 次移动后的偏差均方根，num 表示参与运算的主索节点个数，s
ij
表示参与运算的主索节点附近所有标记点偏离距离的平均值。循环操作，直至 |RM S
i
−
RMS
i−1
| 小于 0.1mm 时结束，认为所得结果为优化后的拟合贴近结果。最终主索节点
与理想抛物面的偏差距离为：
s
j
=
m
i=1
s
ij
(18)
12
其中 s
j
为标号为 j 的主索节点与抛物面偏差距离，m 为循环次数，s
ij
为第 i 次循环时
主索节点的移动距离。
算法伪代码如下
Algorithm 1 “FAST”反射板拟合方案二
Require: 主索节点初始坐标，理想抛物面表达式，标记点坐标，i =1，RMS
0
=0
Ensure: 拟合结果
1: 计算基准球面上各主索节点对应 s
1
2: 将主索节点移动该均值距离
3: 更新标记点
4: 计算偏差均方根 RM S
1
5: while RM S
i
− RMS
i−1
> 0.0001 do
6: i++
7: 计算各主索节点周围的标记点与理想抛物面距离的均值 s
i
8: 将主索节点移动该均值距离
9: 更新标记点
10: 计算偏差均方根 RM S
i
11: end while
经过 10 次迭代循环后满足循环终止条件，均方根变化趋势如图 8所示，截止时 RMS
约为 0.108mm。
图 8 RMS 随迭代次数变化趋势图
确定天体坐标系下各点坐标后，再利用旋转矩阵的逆矩阵，反变换求出世界坐标系
13
下坐标结果。最终结果数据，包括顶点坐标，主索节点编号、坐标，促动器伸缩量，详
情请参考附录 A 或支撑材料中“result.xlsx”文件。
5 . 4 问题三
5 . 4 . 1 电磁波传播路径
如图 9所示，对于每一块反射面板上一点 P ，入射电磁波与反射电磁波关于径向直
线 OP 对称，设 P 点坐标为 (x
p
, y
p
, z
p
)，球心坐标为 (x
o
, y
o
, z
o
)，由于在天体坐标系中，
入射电磁波始终沿着竖直方向，所以照射到 P 点处的电磁波直线方程式为：
x = x
p
y = y
p
设入射电磁波上一点坐标为 (x
p
, y
p
, z
′
)，反射电磁波上与之关于 OP 对称的一点坐
标为 (x, y, z)，两点的中点坐标为 (
x + x
p
2
,
y + y
p
2
,
z + z
′
2
)，且中点在 OP 上，则有以下
关系式：
x − x
p
2(x
p
− x
o
)
=
y − y
p
2(y
p
− y
o
)
=
z + z
′
− 2z
p
2(z
p
− z
o
)
(19)
(x − x
p
)(x
p
− x
o
) + (y − y
p
)(y
p
− y
o
) + (z − z
′
)(z
p
− z
o
) = 0 (20)
馈源舱所在平面为：
z = −0.534R (21)
联立式 (19)、式 (20)、式 (21)，便可以得到反射信号在馈源舱平面的击中坐标，从
而判断是否在有效的接收面内。
图 9 电磁波传播路线
5 . 4 . 2 馈源舱接收比计算
由于每一块面板都是一个半径约为 300 米的球面，为方便对该主动反射面的反射接
收效率进行研究，将连续性的球面进行离散化处理。根据天文观测的需要，要求在曲面
14
上所选择的标记点间距不大于 1.5∼2m 较为合适。[5] 根据第二问中的标记点选择方式，
每个标记点间距离符合要求。我们对口径 300m 范围内的所有标记点进行电磁波入射试
验，计算出每一处反射电磁波在馈源舱平面内的击中位置。
对于一块独立的反射板，设该面板的接收率为 w
i
，天体坐标系中，300 米口径范围
投影至 xoy 平面的面积为 S
total
，该反射板投影至 xoy 平面的面积为 S
plate
，300 米口径
内反射面板个数为 n。由于我们对连续曲面进行了离散化处理，反射板的倾斜程度会对
结果有影响。每块板以
S
plate
S
total
为权重，最终接受比 w 为：
w =
n
i=1
w
i
S
plate
S
total
(22)
最终结果如表 2所示：
反射面状态 馈源舱接收比
拟合抛物面 61.32298629255489%
基准反射球面 5.723596105664632%
表 2 不同状态下馈源舱接收比
由此可见拟合抛物面的馈源舱接收比远远高于基准反射球面，本文提出的拟合优化
方案能够较好解决射电望远镜主动反射面调节功能。
为直观看清散点位置分布，馈源舱圆盘有效接收范围内的散点位置分布图如图 10所
示。为更直观看清散点集中程度，馈源舱圆盘有效接收范围内的散点数量分布图如图 11所
示。
(a) 拟合抛物面结果 (b) 基准反射球面结果
图 10 反射电磁波在馈源舱平面散点位置分布图
15
(a) 拟合抛物面结果 (b) 基准反射球面结果
图 11 反射电磁波在馈源舱平面散点数量分布图
六、 模型的总结与评价
6 . 1 灵敏度分析
最终的最优方案为迭代 10 次后的结果，为验证该方案的合理性与实际效果，我们
将迭代次数为 4 至 9 次的拟合方案进行问题三中的电磁波反射试验，计算出不同状况下
的馈源舱接收率，如图 12 所示，比较后本文最优方案效果为最佳。
图 12 接收率与迭代次数关系图
16
6 . 2 模型优点
1. 在计算表达式时，使用 SymPy 进行符号运算，不同于数值运算，符号运算的结果能
够清晰体现各变量之间的关系，同时提高模型运用的普适性。
2. 结合工程设计方面的知识与要求，合理设置标记点的选取，将连续性球面离散化处
理。同时引入误差均方根，通过迭代优化，将拟合曲面的偏差均方根缩小到工程学
要求范围内，符合实际需求。
3. 建立世界坐标系与天体坐标系，使得无论天体如何运动，在天体坐标系中，理想抛
物面方程一直不变，且电磁波沿竖直向下入射，从而使不同的天体位置情况下的建
模呈现统一化，提高模型的普适能力。
4. 利用 Python 编程实现过程中，将 Numba 库装饰器添加到函数定义中，通过即时编
译（JIT）大大提高运算速度与效率。
6 . 3 模型缺点
1. 建模过程中，理想化反射板，认为由于缝隙的存在，使得反射面板在拉伸移动不会
变形。从而未能考虑主索 0.07% 的变化幅度限制。
2. 标记点选取方式为：首先在三个主索节点形成的平面三角区域均匀选取 45 个点，在
由球心与之连线投影到球面。所以最终球面上的标记点未能实现完全的均匀分布，
而是有极小的偏差。
参考文献
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17
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9.
18
